お問い合わせのことについて下記のとおり調査いたしましたが、日付は判明しませんでした。
おおまかには昭和13年4月13日以降 昭和15年~昭和16年あたりまでのようです。また「学芸部長」だったようです。
1.『毎日新聞七十年』 毎日新聞社/編 毎日新聞社 1952
p334-335 「[昭和]13年4月13日の取締役会で、~中略~
小説家の久米正雄氏が東日学芸部長となった。久米氏はそれ以前から東日学芸部顧問をしていたが~」とあります。
2.『東日七十年史』 東京日日新聞社 1941 国立国会図書館デジタルコレクション
http://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/1038019 コマ197(p343) 編輯局 文化研究会 委員長 久米正雄 (「東京日日新聞社の現陣容」中)
コマ198(p344) 報道班 文化部 顧問 久米正雄(「東京日日新聞社の現陣容」中)
※部長(参事) は永戸俊雄 となっています。また参考まで顧問のうちもう一人は菊池寛です。
3.『日本人名選. 昭和13年』 大阪毎日新聞社[ほか] 1937 国立国会図書館デジタルコレクション
http://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/1057744 コマ64(p125) 久米正雄 あり。紹介文中に「文士大毎学芸部顧問」とあり。
4.『毎日年鑑. 昭和14年 日本人名選』 大阪毎日新聞社[ほか] 1938 国立国会図書館デジタルコレクション
http://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/1072043 コマ387(p761) 久米正雄 あり。紹介文中に「文士東日学芸部長」とあり。
5.『日本人名選. 昭和15年』 大阪毎日新聞社[ほか] 1939 国立国会図書館デジタルコレクション
http://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/1077276 コマ63(p122) 久米正雄 あり。紹介文中に「文士東日学芸部長」とあり。
6.『日本人名選 : 附・満支人名選. 昭和16年』 大阪毎日新聞社[ほか] 1940(1940.10.5発行)
国立国会図書館デジタルコレクション
http://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/1077281 コマ71(p138) 久米正雄 あり。 紹介文中に「文士東京日日新聞社学芸部長」とあり。
7.『毎日年鑑 昭和17年』 大阪毎日新聞社 大阪毎日新聞社 1941(1941.10.5発行) (国会デジタルは図書館限定送信)
p740 久米正雄 あり。 紹介文中に「文士東京日日新聞社文化部顧問」とあり。
8.『毎日新聞 〔マイクロフィルム〕』 日本マイクロ写真/製作
昭和13年4月13日~17日を確認しましたが、該当する記事見つかりませんでした。
ほかに下記の資料も参照しましたが、該当する情報は見つかりませんでした。
『久米正雄』 久米正雄/〔ほか著〕 郡山青年会議所
『久米正雄全集 第13巻』 本の友社
こちらの年譜は昭和5年まで。
『久米正雄展』 こおりやま文学の森資料館/編 こおりやま文学の森資料館
『毎日新聞百年史』 毎日新聞社
以上です。
なお、「学芸」は参照した資料では「学藝」となっておりました。