「彀」（１３画）の字は名前に使えますか。

使えます。
名前に使える漢字は、常用漢字か人名用漢字。「彀」は常用漢字ではないが、人名用漢字であることを法務省ＨＰ「戸籍統一文字情報」のページ（ http://www.moj.go.jp/MINJI/minji86.html ）で検索、確認。

自館所蔵に絞り込んで「全文：人名漢字」で検索　→　22件。分類148に目星をつけて、開架にあった『世界一幸せな男の子の名前　新人名漢字に完全対応！』を確認。「彀」の字は記載されてなかったが、Ｐ226～227より常用漢字か人名漢字なら名前に使用できることが分かる。

常用漢字であるかを調べるため、『新明解漢和辞典　第４版』（三省堂/1991）を確認　→　常用漢字ではない。
念のためもう１冊『第二版　日本国語大辞典７』（小学館/2001）でも確認したが、やはり常用漢字ではない。

最新の人名用漢字を調べるためにはインターネットで調べた方が確実かと思い、法務省のホームページを紹介　→　インターネットが利用できない方だったので、確認して欲しいとの依頼。
法務省ＨＰより「戸籍統一文字情報」のページで検索をかけたところ、人名用漢字であること確認された。